考研数学中偏导数是必考内容之一，是高等数学的一部分，也是微积分的重要知识点。下面将从偏导数的定义、求导方法和应用方面进行介绍。

一、定义

偏导数是多元函数在某一点上某一变量的导数，其中其他变量都视为常数。具体表示为：对于函数 $z = f(x,y)$，在点 $(x_0,y_0)$ 处，对 $x$ 的偏导数为 $\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)}$，对 $y$ 的偏导数为 $\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0)}$。

二、求导方法

1.利用定义求解

根据偏导数的定义，计算在某一点上某一变量的导数，其他变量都视为常数。因此，求偏导数时将其他变量视为常数，对某一变量进行求导即可。

2.利用公式求解

通过常见函数对应的偏导数公式，可以简化计算过程。如：

对于 $z=xy$，有 $\frac{\partial z}{\partial x}=y$，$\frac{\partial z}{\partial y}=x$。

对于 $z=\sin(xy)$，有 $\frac{\partial z}{\partial x}=y\cos(xy)$，$\frac{\partial z}{\partial y}=x\cos(xy)$。

3.利用链式法则求解

对于 $z=f(x,y)$，其中 $x=g(t)$，$y=h(t)$，求 $\frac{\partial z}{\partial t}$，可以利用链式法则来求解。具体步骤如下：

(1) 计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

(2) 计算 $\frac{\partial x}{\partial t}$ 和 $\frac{\partial y}{\partial t}$。

(3) 带入链式法则公式：$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$。

三、应用方面

偏导数在实际应用中有着广泛的应用，如：

1.极值问题

通过求偏导数，并令其等于零，可以求出函数 $z=f(x,y)$ 的驻点。进一步，通过计算二阶偏导数，可以判断该驻点是极小值、极大值还是鞍点。

2.曲面法线方向

偏导数也可以用于求解曲面上某点处的法线方向。具体来说，对于点 $(x_0,y_0,z_0)$，法线方向的 $x,y,z$ 分量分别为 $\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0,z_0)},\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(x_0,y_0,z_0)},1$。

3.经济学应用

在经济学中，偏导数可以用于求解收益函数、生产函数等的边际效应，进而确定生产和消费中的最优决策。

偏导数是考研数学中的重要知识点，需要考生认真掌握。在应用时，要根据具体问题选择合适的方法，灵活运用数学知识。